300分の1の確率の場合、300回やって当たる確率を求める

カジノのルーレットは0〜36までの番号が振られたポケットがあります（ヨーロピアンスタイル）。特定の数字を予想して賭ける場合、確率は37分の1（2.7％）です。そう簡単に当たりませんから、1目賭けを続けていたらあっという間にチップがなくなるし、楽しくないと思います。

では、300分の1の確率で当たりが出るルーレットがあったとします。「300回挑戦すれば1回は当たる」ということで、確率は0.3333％です。300分の1の確率に賭ける遊びは、めったに当たらないわけですから、短い時間の間に相当な回数の抽選がなされるか、賞金がよほど多額でないと楽しくないはずです。

しかし「偶然」が支配していると、300分の1の確率であっても、30回で当たることもあれば、300回でも600回でも当たりが出ないこともあるのです。

「30回までの間に一度は当たる確率」はどのくらいかというと、9.53％です。
「300回までの間に一度は当たる確率」はどのくらいか？　答えを言ってしまうと、63.27％です。

「300分の1の確率なんだから、300回やればもっと高い確率で一度くらい当たるのでは？」と思う方も、きっといると思います。そこで、なぜ63.27％しかないのか、算出の仕方をご説明しましょう。


「300回までの間に一度は当たる確率」とは、「1」から「300回挑戦して一度も当たらない確率」を引いた値です。これに気づくことができれば、「300回挑戦して一度も当たらない確率」を求めればよいとわかります。

「300分の1の確率で当たる」ということは「300分の299の確率で外れる」ということです。2回続けて外れる確率は、299/300×299/300=99.33％です。3回続けて外れる確率は、299/300×299/300×299/300=299/300の3乗=99.00％です。
「300回挑戦して一度も当たらない」とは300分の299の確率の出来事が300回続くことであり、確率は299/300の300乗。これを計算すると0.3673です。

よって、「300回までの間に一度は当たる確率」は、1-0.3673=0.6327で、63.27％となります。

参考までに書くと、600回挑戦しても、一度も当たらない確率は13.49%あります。表現を変えると、「600回挑戦した場合、一度以上当たりが出る確率は86.51%」となります。